+ c ≤ ) ことが知られている[11]。各次数 p に対する最低段数 s の一般式は未解決問題である。具体的な値が幾つか知られている[12]: 最も単純なルンゲ゠クッタ法が 1段1次 の方法であり、一意に定まる。(前進) オイラー法と等価になる。, 2段2次の方法は1パラメータの自由度 α を持ち、以下のブッチャー配列で与えられる。, である。
である[26]。, s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は前述通り 2s である。よって安定性関数の分子と分母は同じく s 次多項式となる。すなわち、 s = 数値解析においてルンゲ＝クッタ法（英: Runge–Kutta method）とは、初期値問題に対して近似解を与える常微分方程式の数値解法に対する総称である。この技法は1900年頃に数学者カール・ルンゲとマルティン・クッタによって発展された。, 一連のルンゲ＝クッタ公式の中で最も広く知られているのが、古典的ルンゲ=クッタ法 (RK4、もしくは単に狭義の ルンゲ=クッタ法、英: the (classical) Runge–Kutta method) などと呼ばれる4次の公式である。, 但し、y(t) が近似的に求めたい未知関数であり、その t における勾配は f(t, y) によって t 及び y(t) の関数として与えられている。時刻 t0 における初期値は y0 で与えられている。, 今、時刻 tn における値 yn = y(tn) が既知のとき、十分に小さなステップ幅 h に対して yn+1, tn+1 を以下の式で与えると、yn+1 は y(tn+1) の 4次精度の近似になっている。このステップを逐次的に繰り返すことによって、初期値 y0 から任意の時刻 tn における近似値 yn が求められる。, である[1][2]。次の値 (yn+1) は、現在の値 (yn) に増分を加えたものであり、増分は勾配の推定値に間隔 h を乗じたものになっている。勾配の推定値は、k1, ..., k4 の4つの勾配の重み付け平均で求める。k1, ..., k4 のそれぞれの勾配は、特定の (t, y) に対する f によって与えられ、以下のように解釈できる。, 重み付き平均では、中央の勾配に対して大きな重みを用いる。シンプソン則を用いた平均と同等の形になる[3]。, RK4は4次の方法である。厳密解とRK4のテイラー展開が4次の項まで一致し、1ステップの推定誤差は n
{\displaystyle \|e_{n+1}\|\leq {\frac {1}{10}}h\delta } 2 ( 1 であることがわかる。, ルンゲ＝クッタ法の局所誤差を精確に計算することが難しいので、実践では誤差を一定の範囲にコントロールするのが望ましいである。そのために開発されたのが 埋め込み型ルンゲ＝クッタ法（Embedded Runge-Kutta method）である。適応型ルンゲ＝クッタ法 (adaptive Runge–Kutta method) とも呼ばれる。線型多段法にもミルンデバイスと呼ばれる相似の方法が存在する[15]。, 埋め込み方法は陽的ルンゲ＝クッタ法二つを利用する（下の方法を上の方法に埋め込むように見えるので埋め込み型と呼ばれる）。ブッチャー配列の以下のように拡張する。, ここで、bi は p 次陽的方法に対応し、b *i は p-1 次陽的方法に対応する。二つの方法は係数 aij と ci を共用する。正しく係数を選ぶと、二つの方法をともに収束させることができる。そのとき、埋め込み方法の時刻 tn での相対（局所）誤差 en は次の公式で与えられる。, ルンゲ＝クッタ法の収束性から、相対誤差も0に収束することがわかる。埋め込みルンゲ＝クッタ法は、アルゴリズムを用いて一時刻ごと（自動的）に刻み幅 h を調整し、誤差をコントロールすることができる（故に適応型と呼ばれる）[16]。よって絶対誤差を計算せずに刻み幅を正しく設定することができる。そのアルゴリズムは、大体以下の通りである。, 誤差の許容値を δ とする。刻み幅 h の近似値 yn+1 と y *n+1 をルンゲ＝クッタ法で計算する。二つの値に対し、 e n {\displaystyle \alpha =1} λ (2002). t + {\displaystyle b_{2}a_{21}=1/2} 1 − t , 4 0 1
) = {\displaystyle b_{2}c_{2}=1/2} 1
( f
+ e i とおく。ki, あるいは y(tn + ci h) を適切に（線型結合として）近似することでルンゲ＝クッタ法の公式となる。その上、係数をテイラー展開より正しく選択すると、方法の収束性も求積法の収束性より保証される。しかし、局所誤差のオーダーや上界は、方法によって大きく異なるので、方法別に計算しなければならない。, 陽的ルンゲ゠クッタ法では
= 1 /
y 10 古典的ルンゲ＝クッタ法. (
, ′ となります(下添字は次数). → y y − r 1 4次までの陽的ルンゲ-クッタ法の安定性領域をプロットすると下記のようになります. = z それではより高次の手法ではどうなるのか見ていきたいと思います. )
1 ( ) {\displaystyle h'={\frac {1}{2}}h} ルンゲ＝クッタ法 en:Zhukovsky–Kutta aerofoil クッタ・ジュコーフスキーの定理 クッタの条件 （英語版） プロジェクト:人物伝: テンプレートを表示: マルティン・ヴィルヘルム・クッタ（Martin Wilhelm Kutta、ドイツ語: 、1867年 11月3日 - 1944年 12月25日）は、ドイツの数学者。 上部シレジア、ピ … = f = 2
.
Oracleライセンス 仮想化 高い 5,
髪 セット 後ろ 鏡 6,
Vxu 187swi Hdmi 38,
Sql Server 行間比較 4,
33歳 独身女性 心理 4,
Openttd 日本 マップ 6,
岩成台中学校 バスケ 廃部 4,
七人の侍 菊 千代 海外の反応 6,
プロポーズ 大 作戦 パンドラ 7 話 4,
うさぎ 水 飲まない 4,
Fgo 強化クエスト ドロップ素材 25,
積分 面積公式 早見チャート 4,
しらたき ご飯 便通 4,
マイクラpe アドオン アイテム追加 10,
ドラクエ10 踊り子 スキル 200 5,
Esprimo D588 メモリ 増設 4,
細マッチョ フリー 素材 7,
Bdドライブ 内蔵 認識しない 5,
Unity Particle Pack 使い方 29,
パトカー サイレン アメリカ 9,
キスマイ 宮田 面白い 12,
ひるおび 田崎史郎 出演 5,
きのこ 食べ過ぎ 便秘 6,
ウイイレ レート 報酬 43,
男子バレー 日本代表 出身高校 8,
同軸ケーブル 3c 4c 5c 違い 9,
ママ友 嫉妬 年収 4,
ココナラ法律相談 佐久間 弁護士 4,
Arrows Tab Q506/me 艦これ 5,
バター サラダ油 違い 5,
競輪 深谷 結婚 17,